第Z02版:论文
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2019年7月12日 星期

初中数学习题“变式训练”


□平湖市林埭中学 屠孝平

在数学教学中,如何遵循数学本身的发现、发明和发展规律,遵循学生认知规律和教育学原理,以培养学生创造性思维,进一步提高学生数学素质,变式训练是一条必由之路,可以达到提高题目利用率,做一题懂一类的目的,使学生从题与题的联系中体会“数学美”。

一、变式训练的意义

变式训练,是指对问题的条件或结论的知识载体进行引申、迁移、运用,变出问题结构与原题基本相同的一种方法。它强调学生在解题过程中要注意归纳解题方法,在完成一道题的解答后,对这道题进行多层次、多角度的变化,对其解法、适用范围、结论应用等方面作进一步探讨,这是一个归纳的过程。

通过变式训练,培养学生的思维发散性和敏捷性,对习题灵活变通,引申推广;培养学生思维的深刻性和抽象性,总结解题方法,优化思维品质;培养思维的严谨性和批判性,发现解题规律,加深对知识的理解。

对数学问题多角度审视引发不同联想,是变式训练思维的本源。丰富合理联想,是提高数学能力的必由之路。在教学中,我们一定要注意变式训练,合理联想提取相关知识,调用一定的数学方法加工、处理题设条件及知识,提高单个题的利用率,达到做一题懂一类的目的。

二、变式训练的方法

反复进行变式训练,是帮助学生克服思维狭窄的有效方法。

新课以简单题入手,由浅入深,使大部分学生对当堂课内容产生兴趣。习题课实施变式训练,把较难题进行改变,让学生找到突破口,对难题也产生兴趣。

复习课实施变式训练,适当扩展和延伸,起到巩固、深化、拓宽、综合应用的作用,一题多用、多题规一,以达到“做一题会一片”的效果。

学生不就题论题,能多思多变,自己也可以将题目中的某一条件改变,对知识进行重组,探索新知识,解决新问题。

变式训练遵循的变形原则有:变图形训练、逆反变式训练(即条件、结论互变式)、综合变式训练。

教师要引导学生进行题后反思,在完成一道题的解答时,对该题的内容、形式、条件、结论作进一步探讨,掌握该题所反映的问题实质,从变中发现“不变”,必使学生受益匪浅。

变式训练的常用方法有:

1.变换命题条件与结论;

2.保留条件,深化结论;

3.减弱条件,加强结论;

4.探讨命题推广;

5.考查命题特例;

6.生根伸枝,图形变换;

7.接力赛,一变再变;

8.解法多变等。

在平时的教学中,从本质上认识到难题中已知与已知、已知与结论之间的必然关系,以及与它们有关联的几何原理等,通过广开思路,深层剖析难题的内部规律,探究思维路径,再加以发散……甚至我们还可以变换原题中的已知和结论,进而构建新命题,达到一通百通。

变式训练,一点也不浪费时间,经常做这种训练,不仅可以培养学生的发散思维能力及相关知识点的迁移能力,也可以扩大学生的知识容量,提高思维质量,还可以培养学生面对难题的从容心态。

三、变式训练在课堂中的运用

在教学中,我提倡学生做一道题收获一类题:不仅要会将给定题目分析得解,还要学会总结反思解题规律、方法思路、技巧、数学思想方法等,最重要的是要充分发挥一道题的作用,学会对一道题从不同角度进行变式,在变化中分析、思考,从而达到将知识学活、学会学习的目的。

以“一次函数的基本知识”复习课为例,谈谈如何用一道题目变式来囊括所有知识点的复习。

例题:已知函数y=(2-k)x-3k+9是一次函数,求k取值范围.

【设计意图】考查一次函数定义:y=kx+b中k≠0.

一变:k为何值时,一次函数y=(2-k)x-3k+6图象经过原点.

【设计意图】考查点与图象和点坐标与函数解析式之间的对应关系:图象过原点等价于x=0,y=0满足y=(2-k)x-3k+9.

二变:k为何值时,一次函数y=(2-k)x-3k+9图象与y轴交点在x轴上方.

【设计意图】考查一次函数图象与x轴、y轴交点问题,并能将文字语言翻译成数学语言:与y轴交点在x轴上方表示交点纵坐标,即-3k+9(一般式中b)大于0.

三变:k为何值时,一次函数y=(2-k)x-3k+9,y随x增大而减小。或(a,b)(m,n)均在一次函数y=(2-k)x-3k+9的图象上,且an,求k取值范围.

【设计意图】考查一次函数性质.

四变:k为何值时,一次函数y=(2-k)x-3k+9图象经过一、二、四象限?

【设计意图】学习一次函数的最重要方法是数形结合。结合图象,将问题转化为解关于k不等式组.

五变:k为何值时,一次函数y=(2-k)x-3k+9图象平行于直线y=-x.

【设计意图】考查决定两条直线位置关系因素,这里只涉及简单情形:两条直线平行等价于2-k=-1(即一般式中k相等).

六变:直线y1=(2-k)x-3k+9与直线y2=3x+5交于点P(-1,a).

(1)求k值;

(2)x为何值时,y1>y2;

(3)求直线y=(2-k)x-3k+9、直线y=3x+5与x轴围成的三角形面积.

【设计意图】(1)交点的意义:点P(-1,a)同时满足y1=(2-k)x-3k+9与直线y2=3x+5,从而求得a,k;(2)解决第二问时有多种方法:解不等式,数形结合;(3)第三问需要借助图象明确所求图形,弄清点坐标与线段长关系(这是学生的易错点,补充强化练习:如果直线y=-2x+k与两坐标轴所围成三角形面积是8,求k值).

变式训练教学收获反思:

1.在本节课中,通过对一次函数y=(2-k)x-3k+9进行多角度变式,将转化思想、数形结合思想加以应用,学生的思维、能力均得以发展。

2.“变式训练”教学容易提高教师驾驭课堂的能力。

3.天长日久受教师影响,学生也会逐渐习惯题目变式。

在几何方面,有很多比较棘手的题目,都是由简单的基础题型经过一系列变化(或者说是加工处理)后形成的。

如题:点P在△ABC内,且PB=PC,∠PAB=2∠PAC,∠ABC=2∠ACB.求证:AP=AB.

一变:点P在△ABC内,且AP=AB,∠PAB=2∠PAC,∠ABC=2∠ACB.求证:PB=PC.

二变:点P在△ABC内,且AP=AB,∠PAB=2∠PAC,∠ABC=2∠ACB.求证:∠PCA=定值.

三变:点P在△ABC内,且PB=PC,∠ACP=30°,∠ABC=2∠ACB.求证:∠PAB=2∠PAC.

变式训练是我国中学数学教育的优良传统,是由一道原始题目从题设条件变换、数据衍变、内容拓展、设问转化、习题类比化等角度进行演变,是对原有知识的巩固和升华,使其在具体应用中得到加强并延伸,使学生从更深层次上理解题目。

在中学数学习题的变式教学中,所选用的“题源”应以课本例题与习题为主。课本题均是经专家学者多次筛选后的精品,因此我们要对其精心设计和挖掘,编制一题多变、一题多解、一题多用和多题一解的变式题。


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